Parametric Integer Programming

When analysing computer programs (especially numerical programs in which arrays are used extensively), one is often confronted with integer programming problems. These problems have three peculiarities: feasible points are ranked according to lexicographic order rather than the usual linear economic function; the feasible set depends on integer parameters; one is interested only in exact solutions. The diiculty is somewhat alleviated by the fact that problems sizes are usually quite small. In this paper we show that: the classical simplex algorithm has no diiculty in handling lexico-graphic ordering; the algorithm may be executed in symbolic mode, thus giving the solution of continuous parametric problems; the method may be extended to problems in integers. We prove that the resulting algorithm always terminate and give an estimate of its complexity. 1 R esum e L'analyse s emantique des programmes (sp ecialement des programmes num eriques utilisant des tableaux), conduit a la r esolution de probl emes de programmation num erique en nombres entiers. Ces probl emes ont trois particularit es: les points faisables ne sont pas class es suivant une fonction econo-mique lin eaire, mais suivant l'ordre lexicographique; le probl eme d epend de param etres, eux aussi entiers; seules les solutions exactes sont int eressantes. En compensation, la taille des probl emes a traiter est faible; il est envisageable de rechercher une solution compl ete. Dans ce papier, nous montrons: que l'algorithme classique du simplexe s'adapte sans diicult e au traitement de l'ordre lexicographique; qu'il est possible de l'ex ecuter symboliquement pour obtenir la solution de probl emes param etriques continus; que cette technique s' etend a la r esolution de probl emes en nombres entiers. On prouve la convergence de l'algorithme ainsi obtenu et on donne une id ee de sa complexit e.